A Teoria do Risco Financeiro – Parte II

Continuando, vimos que Markowitz ensinou-nos a trabalhar com carteiras para obter o máximo de diversificação do risco. Inclusive demonstrou que uma combinação dos ativos de risco pode produzir uma carteira especial, denominada carteira de mínima variância (mínimo risco) que produz um retorno maior com risco menor do que uma aplicação individual no ativo de menor risco.

Do ponto de vista matemático o risco total de uma carteira, medido pelo desvio-padrão, depende dos riscos individuais (desvio-padrões de cada um dos ativos) e das correlações medidas duas a duas entre os diferentes pares de ativos passíveis de serem formados. Para n ativos a fórmula trabalha com n termos de risco individual e n.(n-1)/2 termos de correlações. Ou seja, para uma carteira com dez ações, teremos 10 termos de riscos individuais (riscos de cada um dos dez ativos) e 45 termos de correlação. O número 45 reflete o total de combinações de ações duas a duas para as 10 ações. Pela quantidade de termos de correlação na fórmula de Markowitz percebe-se a importância das correlações na determinação do risco final da carteira (desvio-padrão da carteira). Vamos colocá-la abaixo mas não é para assustar, só para você visualizar o que escrevemos aqui neste parágrafo.

A letra sigma representa o desvio-padrão. O primeiro que aparece no lado esquerdo da fórmula é o desvio-padrão da carteira elevado ao quadrado que também é chamada de variância da carteira. No lado direito note que o primeiro somatório representa os n termos de risco individual e o segundo mostra a explosão de termos de correlação em função das combinações possíveis dos n ativos, dois a dois. Os w representam as proporções dos ativos na carteira, a letra rô (que parece um pezinho) representa a correlação entre um par de ativos.

Pronto, deixemos a matemática de lado! Tava doendo? Agora passou! (risos). Vamos falar linguagem de gente. Pois bem, num mundo repleto de ativos de risco em que o investidor é avesso ao risco e que se pode formar carteiras, devemos tomar a teoria do portfólio e calcular a fronteira eficiente. Ela vai mostrar todas as carteiras eficientes do menor risco para o maior risco. O maior risco sempre corresponderá à aplicação individual no ativo de maior risco e maior retorno. Aqui, por hipótese, supomos que na medida em que se aumenta o risco, aumenta-se a expectativa de retorno. Veja a figura baixo para a fronteira eficiente de Markowitz.

Note que tem uma hipérbole superior que começa na carteira de risco mínimo, apontada pela seta. Esta é a chamada fronteira eficiente de Markowitz. A parte de baixo (a semi hipérbole abaixo da seta) não faz parte da fronteira eficiente, pois é dominada pela fronteira eficiente. Note que no rumo do risco 19% tem um ponto com retorno esperado de 6,1%. Mas esta carteira é ineficiente e dominada pela carteira com risco 19% e retorno esperado de 6,4%. Conseguiu visualizar? Então, a fronteira eficiente de Markowitz é a semi hipérbole superior.

Agora, veja a próxima figura que ilustra a diversificação crescente mas limitada do acréscimo de ativos de risco na carteira:

Também há o risco sistemático ou não diversificável que não pode ser minimizado, mas previsto, sendo relacionado com as variações de mercado.

Veja que a hipérbole que mede a relação retorno esperado x risco (medido pelo desvio-padrão da carteira) vai se aproximando assintoticamente de uma linha horizontal, indicando não haver mais possibilidade de diversificação. Atinge-se um patamar mínimo de risco da carteira depois de se eliminar os muitos riscos específicos, conforme a reta vermelha pontilhada. Examinando isso, William Sharpe teve uma idéia de criar uma nova métrica para medir este risco que sobra após a diversificação que explicaremos melhor mais à frente.

Vamos voltar a Markowitz! Olha, você viu o tamanho da fórmula que calcula o desvio-padrão da carteira. É enorme! Lá em 1952 não era nada fácil resolver este problema pois não se tinha os computadores que temos hoje. Então, Markowitz foi financiado por grandes empresas que patrocinaram as suas pesquisas para desenvolver algoritmos eficientes para o cálculo dos pontos da fronteira eficiente. Hoje isso é bem mais tranquilo, nós citamos que o solver do Excel nos socorre para carteiras com tamanho próximo de 50 ativos. Entretanto, hoje em dia temos softwares muito mais poderosos e específicos para resolver problemas de otimização, que aparecem como módulos do SPSS, do SAS e muitos outros pacotes de estatística ou matemática. Há também um SOLVER profissional, mais caro do que aquele que vem com o Excel.

Num cenário de cálculos complexos numa era com dificuldade em se obter computadores sofisticados como os que temos hoje, Sharpe teve uma sacada para simplificar e evoluir a teoria de Markowitz. Veja a figura abaixo:

Note que a semi hipérbole FM é a fronteira eficiente de Markowitz para os ativos de risco. O ponto Rf corresponde ao ativo livre de risco e o ponto M representa a carteira de mercado. Uma carteira com todos os ativos de mercado nas suas proporções naturais. Então, Sharpe acrescentou premissas à teoria de Markowitz: definiu que o investidor poderia operar com o ativo livre de risco e com a carteira de mercado. Ou seja, poderia manter uma carteira tão diversificada como a carteira de mercado combinado com uma aplicação no ativo livre de risco. Com isso, Sharpe demonstra que a reta PMQ é a verdadeira e nova fronteira eficiente de mercado, dominando a fronteira eficiente de Markowitz.

Vamos parar para respirar!

Vou resumir a idéia de Sharpe: se o investidor pode contar com aplicações no ativo livre de risco e em carteiras que são frações da carteira de mercado ele montará carteiras que ficarão na reta PMQ, a chamada linha do mercado de capitais. Note então que um investidor preferirá navegar neste mundo do que ficar só no mundo de Markowitz onde se operaria apenas com ativos de risco. Na prática esta teoria tem premissas muito mais exigentes do que as de Markowitz, pois considera como sendo trivial operar com uma carteira amplamente diversificada, que teria todos os ativos de mercado nas suas proporções naturais. Ora, isso é obviamente muito difícil de se montar. O que se faz, na prática, é se admitir que a carteira teórica da bolsa é uma aproximação dessa carteira de mercado da teoria de Sharpe. O ativo livre de risco pode ser aproximado pelos títulos do tesouro. No caso do nosso país, o Ibovespa com as suas 70 ações (aproximadamente) seria a tal carteira de mercado.

Muito bem, com isso, Sharpe indicou que nesse mundo teórico que criou o que importa é o chamado risco sistêmico que cada ativo tem e não o seu risco total medido pelo desvio-padrão. A mesma coisa vale para as carteiras, que são combinações de ativos de risco com o ativo livre de risco. Para medir esse risco sistêmico ou sistemático inerente a cada ativo Sharpe criou a métrica Beta (βp). O Beta corresponde à razão entre a covariãncia do ativo com o mercado (Ibovespa, por aproximação) e a variancia da carteira de mercado. Desculpe, eu tinha que citar isso. Mas vamos tentar traduzir a matemática em português claro. O Beta de cada ativo mede o quanto ele varia com relação ao mercado. Isto porque o investidor tem sempre um monte de ativos na carteira e sabe que a própria carteira cumpre a função de diversificar os riscos específicos, praticamente reduzindo-os a zero. Então, o que interessa é o risco sistêmico de cada ativo e o risco sistêmico da carteira. Este último é medido pela ponderação dos riscos sistêmicos de cada ativo na carteira, de acordo com as suas proporções. Veja a figura abaixo:

Viu que o Beta da Carteira (βp) é a combinação linear dos betas de cada um dos ativos? Se você montar uma carteira com Beta final maior do que 1 você está sendo um investidor agressivo, o seu risco seria em tese maior do que o risco Ibovespa.

Resumindo, Sharpe sugeriu que investidores que trabalhassem com carteias amplamente diversificas (do tamanho da diversificação natural do mercado) esquecessem o desvio-padrão como métrica para calcular o risco e migrassem para o tal Beta, que mediria apenas o risco sistêmico de cada um dos ativos. Depois utilizaria as proporções dos ativos na carteira para calcular o Beta final da carteira ou o risco sistemático da carteira.

Por fim, registro que a idéia de Sharpe permitiu criar uma fórmula das mais famosas, o CAPM (Capital Asset Price Method), para encontrar o preço justo dos ativos. É que o cara estabeleceu uma regra entre retorno esperado e risco sistemático (medido pelo beta) dos ativos. Vide figura abaixo:

Então, Sharpe e outros que o sucederam criaram uma fórmula do tipo: me dê o nível de risco sistemático de um ativo, a taxa livre de risco da economia e o retorno da carteira de mercado que eu lhes digo o quanto este ativo deveria render no futuro!

Uma teoria lindíssima completamente alinhada com a teoria anterior, a de Markowitz, mas que enfrenta problemas na prática. Por exemplo, montar carteiras diversificadas ainda é um problema para a maioria dos investidores, pois tem um custo proibitivo devido às taxas de corretagem, emolumentos e outros. Se você não pode trabalhar com carteiras muito diversificadas, melhor ficar só com a teoria de Markowitz e utilizar o desvio-padrão e as correlações para calcular o risco total da carteira. Um outro ponto importante de se ressaltar. Num próximo artigo vamos mostrar algumas limitações para aplicar o beta ou o modelo CAPM para precificação de ativos ou mesmo para descontar fluxos de caixa e avaliar empresas, bem como algumas condições de contorno.

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